如图所示，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点。（1）请求出直线AB的函数表达式；（2）若有一抛物线的

题型：山西省中考真题难度：来源：

如图所示，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点。

（1）请求出直线AB的函数表达式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
∵直线AB经过A（-6，0），B（0，-8），
∴由此可得，解得
∴直线的函数表达式为。
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理，得
∵⊙M经过O，A，B三点，且∠AOB=90°，
∴AB为⊙M的直径，
∴半径MA=5，
设抛物线的对称轴交x轴于点N，
∵MN⊥x，
∴由垂径定理，得
在中，
∴
∴顶点C的坐标为（-3，1），
设抛物线的表达式为
∵它经过B（0，-8），
∴把x=0，y=-8代入上式
得
解得
∴抛物线的表达式为。（3）如图，连接AC，BC

在抛物线中，设
则
解得，
∴D，E的坐标分别是（-4，0），（-2，0），
∴DE=2；
设在抛物线上存在点P（x，y），使得

则
∴
当时，
解得
∴
当时，
解得，
∴
综上所述，这样的点存在，且有三个
。