如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且当x=0和x=4时,y的值相等,直线y=4x-16与这条抛物线相交于两

如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且当x=0和x=4时,y的值相等,直线y=4x-16与这条抛物线相交于两

题型:河南省中考真题难度:来源:
如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且当x=0和x=4时,y的值相等,直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点,其中一点的横坐标是3,另一点是这条抛物线的顶点M。
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)P为线段OM上一点,过点P作PQ⊥x轴于点Q,若点P在线段OM上运动(点P不与点O重合,但可以与点M重合),设OQ的长为t,四边形PQCO的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)随着点P的运动,四边形PQCO的面积S有最大值吗?如果S有最大值,请求出S的最大值,并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状;如果S没有最大值,请简要说明理由;
(4)随着点P的运动,是否存在t的某个值,能满足PO=OC?如果存在,请求出t的值。
答案
解:(1)∵当x=0和x=4时,y的值相等,
∴c=16a+4b+c,
∴b=-4a,

将x=3代入y=4x-16,得y=-4,
将x=2代入y=4x-16,得y=-8,
∴设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-8,
将点(3,-4)代入,得-4=a(x-2)2-8,解得a=4,
∴抛物线y=4(x-2)2-8,即y=4x2-16x+8;
(2)设直线OM的解析式为y=kx,将点M(2,-8)代入,得k=-4,
∴y=-4x,
则点P(t-4t),PQ=4t,而PC=8,OQ=t,
S=S△COQ+S△OPQ=×8×t+×t×4t=2t2+4t,
t的取值范围为:0<t≤2;
(3)随着点P的运动,四边形PQCO的面积S有最大值,
从图象可看出,随着点P由O→M运动,△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大,即S不断变大,显当然点P运动到点M时,S最值,
此时t=2时,点Q在线段AB的中点上,
因而S=×2×8+×2×8=16,
当t=2时,OC=MQ=8,OC∥MQ,
∴四边形PQCO是平行四边形;
 (4)随着点P的运动,存在t=,能满足PO=OC,
设点P(t,-4t),PQ=4T,OQ=t,
由勾股定理,得OP2=(4t)2+t2=17t2
∵PO=OC,
∴17t2=82(不合题意)
∴当时,PO=OC。
举一反三
如图,直角梯形OABC中,AB∥OC,O为坐标原点,点A在y轴正半轴上,点C在x轴正半轴上,点B坐标为(2,2),∠BCO= 60°,OH⊥BC于点H。动点P从点H出发,沿线段HO向点O运动,动点Q从点O出发,沿线段OA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,设点P运动的时间为t秒。

(1)求OH的长; 
(2)若△OPQ的面积为S(平方单位),求S与t之间的函数关系式,并求t为何值时,△OPQ的面积最大,最大值是多少? 
(3)设PQ与OB交于点M.①当△OPM为等腰三角形时,求(2)中S的值,②探究线段OM长度的最大值是多少,直接写出结论。
题型:湖北省中考真题难度:| 查看答案
一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃,该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成,每个扇环面如图2所示,它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段围成,为使得绿化效果最佳,还须使得扇环面积最大。
(1)求使图1花圃面积为最大时R-r的值及此时花圃面积,其中R、r分别为大圆和小圆的半径;
(2)若L=160m,r=10m,求使图2面积为最大时的θ值。
           图1                                        图2
题型:安徽省中考真题难度:| 查看答案
已知圆P的圆心在反比例函数图象上,并与x轴相交于A、B两点,且始终与y轴相切于定点C(0,1)。
(1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;
(2)若二次函数图象的顶点为D,问当k为何值时,四边形ADBP为菱形。


图1                                                   图2

题型:安徽省中考真题难度:| 查看答案
如图,四边形ABCD为矩形,AB=4,AD=3,动点M、N分别从D、B同时出发,以1个单位/秒的速度运动,点M沿DA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动,过点N作NP⊥BC,交AC于点P,连接MP,已知动点运动了x秒。

(1)请直接写出PN的长;(用含x的代数式表示)
(2)若0秒≤x≤1秒,试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式,利用函数图象,求S的最大值。
(3)若0秒≤x≤3秒,△MPA能否为一个等腰三角形?若能,试求出所有x的对应值;若不能,试说明理由。
题型:福建省中考真题难度:| 查看答案

在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过P(,5),A(0,2)两点。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为B,将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l,直线l与抛物线的对称轴交于C点,求直线l的解析式;
(3)在(2)的条件下,求到直线OB,OC,BC距离相等的点的坐标。

题型:北京中考真题难度:| 查看答案
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