已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2-

题型：云南省中考真题难度：来源：

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=-2。
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）求△ABC的面积；
（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8　              
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC               
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）              
又∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=-2             
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（-6，0）
∴A、B、C三点的坐标分别是A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8） 。
（2））∵点C（0，8）在抛物线y=ax²+bx+c的图象上
∴c=8，              
将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式
得
解得
∴所求抛物线的表达式为。
（3）∵AB=8，OC=8
∴S_△ABC=×8×8=32。
（4）依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10
∵EF∥AC　
∴△BEF∽△BAC
∴
即
∴
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则
∴，
∴S=S_△BCE-S_△BFE=
=
=
=
自变量m的取值范围是0＜m＜8。
（5）存在。
理由：
∵，且
∴当m=4时，S有最大值，S_最大值=8
∵m=4，
∴点E的坐标为（-2，0）
∴△BCE为等腰三角形。