.如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P。（1）求该抛物线的解析式

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

.如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值。（图（2）、图（3）供画图探究）

答案

解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），
∴解得
∴抛物线解析式为y=x²-4x+3；
（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴对称轴为x=2，顶点坐标为P（2，-1），
∴满足条件的点M分别为M₁（2，7），M₂（2，2-1），M₃，M4（2，-2-1）；
（3）由（1），得A（1，0），连接BP，
∵∠CBA=∠ABP=45°，
∴当时，△ABC∽△PBQ，
∴BQ=3，
∴Q₁（0，0），
∴当时，△ABC∽△QBP，
∴BQ=，
∴Q₂；
（4）当0＜x＜3时，
在此抛物线上任取一点E连接CE、BE，
经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，
设点F（x，-x+3），点E（x，x²-4x+3），
∴EF=-x²+3x，
∴S_△CBE=S_△CEF+S_△BEF=EF·OB=-x²+x=，
∵a=-＜0，
∴当x=时，S_△CBE有最大值，
∴y=x²-4x+3=-，
∴E。