已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上。∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8c

题型：山东省中考真题难度：来源：

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上。∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm。如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动。DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）。
解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。（图（3）供同学们做题使用）

答案

解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP=AQ，
∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，
∴∠EQC=45°，
∴∠DEF=∠EQC，
∴CE=CQ，
由题意知：CE=t，BP=2t，
∴CQ=t，
∴AQ=8-t，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm，
则AP=10-2t，
∴10-2t=8-t，
解得：t=2，
答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）过P作PM⊥BE，交BE于M，
∴∠BMP=90°，
在Rt△ABC和Rt△BPM中，，
∴，
∴PM=，
∵BC=6cm，CE=t，
∴BE=6-t，
∴y=S_△ABC-S_△BPE
=
=，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当t=3时，y_最小=，
答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm²；
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上，
过P作PN⊥AC，交AC于N，
∴，
∵，
∴△PAN∽△BAC，
∴，
∴，
∴，
∵NQ=AQ-AN，
∴，
∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ，
∵∠FQC=∠PQN，
∴△QCF∽△QNP，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：t=1，
答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上。