如图， 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）。（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过

题型：重庆市中考真题难度：来源：

如图， 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由。

答案

解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C（0，-1）
∴
解得：b=-，c=-1，
∴二次函数的解析式为； （2）设点D的坐标为（m，0）（0＜m＜2）
∴OD=m，
∴AD=2-m，
由△ADE∽△AOC得， 
∴，
∴DE=，
∴△CDE的面积=×m =，
当m=1时，△CDE的面积最大，
∴点D的坐标为（1，0）；（3）存在 由（1）知：二次函数的解析式为
设y=0，则
解得：x₁=2，x₂=-1，
∴点B的坐标为（-1，0） C（0，-1），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴
解得：k=-1，b=-1，
∴直线BC的解析式为：y=-x-1，
在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=2，OC=1，
由勾股定理得：AC=，
∵点B（-1，0），点C（0，-1），
∴OB=OC，∠BCO=45°，
①当以点C为顶点且PC=AC=时，
设P（k，-k-1）
过点P作PH⊥y轴于H，
∴∠HCP=∠BCO=45°，CH=PH=∣k∣
在Rt△PCH中，k²+k²=
解得k₁=，k₂=-，
∴P₁（，-），P₂（-，），
②以A为顶点，即AC=AP=
设P（k，-k-1），
过点P作PG⊥x轴于G，
AG=∣2-k∣，GP=∣-k-1∣，
在Rt△APG中，AG²+PG²=AP²
（2-k）²+（-k-1）²=5
解得：k₁=1，k₂=0（舍）
∴P₃（1，-2），
③以P为顶点，PC=AP，
设P（k，-k-1），
过点P作PQ⊥y轴于点Q，PL⊥x轴于点L，
∴L（k，0），
∴△QPC为等腰直角三角形，PQ=CQ=k，
由勾股定理知，CP=PA=k，
∴AL=∣k-2∣，PL=｜-k-1｜，
在Rt△PLA中，（k）²=（k-2）²+（k+1）²
解得：k=
∴P₄（，-），
综上所述： 存在四个点：P₁（，-） P₂（-，） P₃（1， -2） P₄（，-）。