如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°，动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达

题型：新疆自治区中考真题难度：来源：

如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°，动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。
（1）求AB的长；
（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由。

答案

解：（1）作AE⊥BC，
∵等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，
∴BE=（BC-AD）÷2=2.5，
∵∠B=45°，
∴AB=；（2）作QF⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠B=∠C=45°，
∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BP=x，
∴BP=CQ=x，
∵BC=9，
∴CP=9-x，QF=x，
设△PQC的面积为y，
∴y=（9-x）·x·
即y=-，
∴当x=-时，y的值最大，
∴当x=时，△PQC的面积最大； （3）假设AB上存在点M，使得四边形PCQM为菱形，
∵等腰梯形ABCD，∠B=∠C=45°，
∴CQ=CP=BP=MP，∠B=∠C=∠MPB=45°，
∴∠BMP=45°，
∵∠B=∠APB=∠BMP=45°，
不符合三角形内角和定理，
∴假设不存在，
∴边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形。