如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方

题型：云南省中考真题难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动。
（1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm²），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；
（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设AC=4x，BC=3x，
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
即：（4x）²+（3x）²=10²，
解得：x=2，
∴AC=8cm，BC=6cm； （2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵AP=x，
∴BP=10-x，BQ=2x，
∵△QHB∽△ACB，
∴，
∴QH=x，y=BP·QH=（10-x）·x=-x²+8x（0＜x≤3），
②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=x，
∴BP=10-x，AQ=14-2x，
∵△AQH′∽△ABC，
∴，
即：，
解得：QH′=（14-x），
∴y=PB·QH′=（10-x）·（14-x）=x²-x+42（3＜x＜7）；
∴y与x的函数关系式为：y=；
（3）∵AP=x，AQ=14-x，
∵PQ⊥AB，
∴△APQ∽△ACB，
∴，
即：，
解得：x=，PQ=，
∴PB=10-x=，
∴，
∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；
（4）存在，
理由：
∵AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5，
∵AC=8，AB=10，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴PQ∥AB，
∴PQ⊥AC，
∴PQ是AC的垂直平分线，
∴PC=AP=5，
∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，
∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16，
∴△BCM的周长最小值为16。