如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）。（1）求b的值；（2）求x1·

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x²交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点（其中x₁＜0，x₂＜0）。
（1）求b的值；
（2）求x₁·x₂的值；
（3）分别过M、N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是M₁、N₁，判断△M₁FN₁的形状，并证明你的结论；
（4） 对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切，如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由。

答案

解：（1）把点F（0，1）坐标代入y=kx+b中得b=1；
（2）由y=x²和y=kx+1得x²-kx-1=0化简得x₁=2k-2，x₂=2k+2，x₁·x₂=-4；
（3）△M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）：
理由如下：设直线l与y轴的交点是F₁，
FM₁²=FF₁²+M₁F₁²=x₁²+4，FN₁²=FF₁²+F₁N₁²=x₂²+4，
M₁N₁²=（x₁-x₂）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=x₁²+x₂²+8，
∴，
∴△M₁FN₁是以F点为直角顶点的直角三角形；
（4）符合条件的定直线m即为直线l：y=-1
过M作MH⊥NN₁于H，MN²=MH²+NH²
=²+
_，
∴，
分别取MN和M₁N₁的中点P，P₁，
，
∴PP₁= MN，即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半，
∴以MN为直径的圆与l相切。