如图,在平面直角坐标系xoy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙O"与y轴正半轴交于点C,连接BC,AC,CD是⊙O"的切线,AD⊥CD于点D,tan
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如图,在平面直角坐标系xoy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙O"与y轴正半轴交于点C,连接BC,AC,CD是⊙O"的切线,AD⊥CD于点D,tan
题型:湖北省中考真题
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如图,在平面直角坐标系xoy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙O"与y轴正半轴交于点C,连接BC,AC,CD是⊙O"的切线,AD⊥CD于点D,tan∠CAD=
,抛物线
过A,B,C三点。
(1)求证:∠CAD=∠CAB;
(2)①求抛物线的解析式;
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上,并说明理由;
(3)在抛物线上是否存在一点P,使四边形PBCA是直角梯形,若存在,直接写出点P的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)证明:连接O′C,
∵CD是⊙O′的切线,
∴O′C⊥CD,
∵AD⊥CD,
∴O′C∥AD,
∴∠O′CA=∠CAD,
∵O′A=O′C,
∴∠CAB=∠O′CA,
∴∠CAD=∠CAB;
(2)①∵AB是⊙O′的直径,
∴∠ACB=90°,
∵OC⊥AB,
∴∠CAB=∠OCB,
∴△CAO∽△BCO,
∴
,即OC
2
=OA·OB,
∵tan∠CAO=tan∠CAD=
,
∴AO=2CO,
又∵AB=10,
∴OC
2
=2CO(10-2CO),
∵CO>0,
∴CO=4,AO=8,BO=2,
∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4),
∵抛物线
过A,B,C三点,
∴c=4,由题意得
,解之得
,∴
;
②设直线DC交x轴于点F,易证△AOC≌△ADC,
∴AD=AO=8,
∵O′C∥AD,
∴△FO′C∽△FAD,
∴
,
∴8(BF+5)=5(BF+10),
∴BF=
,F(
,0),
设直线DC的解析式为y=kx+m,则
,即
,
∴
,
由
得顶点E的坐标为
,
将E
代入直线DC的解析式
中,
右边=
=左边,
∴抛物线顶点E在直线CD上;
(3)存在,P
1
(-10,-6),P
2
(10,-36)。
举一反三
我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售,当地政府对该特产的销售投资收益为:每投入x万元,可获得利润
(万元),当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资,在实施规划5年的前两年中,每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的3年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益为:每投入x万元,可获利润
(万元)。
(1)若不进行开发,求5年所获利润的最大值是多少?
(2)若按规划实施,求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少?
(3)根据(1)、(2),该方案是否具有实施价值?
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在平面直角坐标系中,抛物线
与x轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H。
(1)直接填写:a=____,b=____,顶点C的坐标为____;
(2)在轴上是否存在点D,使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),PQ⊥AC于点Q,当△PCQ与△ACH相似时,求点P的坐标。
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2011年长江中下游地区发生了特大旱情,为抗旱保丰收,某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法,其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系。
(1)分别求和的函数解析式;
(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买,请你设计一个能获得最大补贴金额的方案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额。
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如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上),若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上),抛物线
经过A、C两点,与x轴的另一交点为G,M是FG的中点,正方形CDEF的面积为1。
(1)求B点坐标;
(2)求证:ME是⊙P的切线;
(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点,
①求△ACQ周长的最小值;
②若FQ=t,S
△ACQ
=S,直接写出S与t之间的函数关系式。
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如图1,抛物线y=ax
2
+bx+3经过点A(-3,0),B(-1,0)两点。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为M,直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D,现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上,若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围;
(3)如图2,将抛物线平移,当顶点至原点时,过Q(0,3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点,问在y轴的负半轴上是否存在一点P,使△PEF的内心在y轴上,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。
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