如图,抛物线y=ax2+bx-3与x 轴交于A,B两点,与y轴交于C 点,且经过点(2,-3a),对称轴是直线x=1,顶点是M;(1)求抛物线对应的函数表达式;

如图,抛物线y=ax2+bx-3与x 轴交于A,B两点,与y轴交于C 点,且经过点(2,-3a),对称轴是直线x=1,顶点是M;(1)求抛物线对应的函数表达式;

题型:山东省中考真题难度:来源:
如图,抛物线y=ax2+bx-3与x 轴交于A,B两点,与y轴交于C 点,且经过点(2,-3a),对称轴是直线x=1,顶点是M;
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)经过C,M两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上是否存在这样的点P,使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设直线y=-x+3与y轴的交点是D,在线段BD上任取一点E(不与B,D重合),经过A,B,E三点的圆 交直线BC于点F,试判断△AEF的形状,并说明理由;
(4)当B是直线y=-x+3上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论)
答案
解:(1)根据题意,得
解得
∴抛物线对应的函数表达式为y=x2-2x-3; (2)存在,
在y=x2-2x-3中,令x=0,得y=-3,
令y=0,得x2-2x-3=0,
∴x1=-1,x2=3,
∴顶点M(1,-4),
容易求得直线CM的表达式是y=-x-3,
在y=-x-3中,令y=0,得x=-3,
∴N(-3,0),
∴AN=2,
在y=x2-2x-3中,令y=-3,得x1=0,x2=2,
∴CP=2,
∴AN=CP,
∴四边形ANCP为平行四边形,
此时P(2,-3); (3)△AEF是等腰直角三角形,
理由:在y=-x+3中,令x=0,得y=3,令y=0,得x=3,
∴直线y=-x+3与坐标轴的交点是D(0,3),B(3,0),
∴OD=OB,
∴∠OBD=45°,
又∵点C(0,-3),
∴OB=OC,
∴∠OBC=45°,
由图知∠AEF=∠ABF=45°,∠AFE=∠ABE=45°,
∴∠EAF=90°,且AE=AF,
∴△AEF是等腰直角三角形; (4)当点E是直线y=-x+3上任意一点时,(3)中的结论成立。
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,点,C(0,2),动点D以每秒1个单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动,同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动,过点E作EF⊥AB,交BC于点F,连接DA、DF,设运动时间为t秒。
(1)求∠ABC的度数;
(2)当t为何值时,AB∥DF?
(3)设四边形AEFD的面积为S。
①求S关于t的函数关系式;
②若一抛物线y=-x2+mx经过动点E,当时,求m的取值范围(写出答案即可)。
题型:浙江省中考真题难度:| 查看答案
已知二次函数的图象经过原点及点(-),且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1,则该二次函数的解析式为(    )。
题型:安徽省中考真题难度:| 查看答案
已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求这个二次函数的关系式。
题型:湖南省中考真题难度:| 查看答案
某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛,花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案,图案中AE=MN,准备在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植红色花草,在形如Rt△EMH的四个全等三角形内种植黄色花草,在正方形MNPQ内种植紫色花草,每种花草的价格如下表:
设AE的长为x米,正方形EFGH的面积为S平方米,买花草所需的费用为W元。解答下列问题:
(1)S与x之间的函数关系式为S=____;
(2)求W与x之间的函数关系式,并求所需的最低费用是多少元?;
(3)当买花草所需的费用最低时,求EM的长。
题型:吉林省中考真题难度:| 查看答案
如图所示,菱形ABCD的边长为6厘米,∠B=60°,从初始时刻开始,点P、Q同时从A点出发,点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动,点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动,当点Q运动到D点时,P、Q两点同时停止运动,设P、Q运动的时间为x秒时,△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米。(这里规定:点和线段是面积为O的三角形),解答下列问题:
(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是____秒;
(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中,当△APQ是等边三角形时,x的值是____秒;
(3)求y与x之间的函数关系式。
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