解:(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣5), 把点A(0,4)代入上式得:a=, ∴y=(x﹣1)(x﹣5)=x2﹣x+4=, ∴抛物线的对称轴是:x=3; | |
(2)由已知,可求得P(6,4), 由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3, 又∵点P的坐标中x>5, ∴MP>2,AP>2; ∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意, ∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况, 在Rt△AOM中,AM==5, ∵抛物线对称轴过点M, ∴在抛物线x>5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5, 即PM=5,此时点P横坐标为6,即AP=6; 故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立,即P(6,4); | |
(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大, 设N点的横坐标为t,此时点N(t,)(0<t<5), 过点N作NG∥y轴交AC于G; 由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为:y=﹣x+4; 把x=t代入得:y=﹣x+4,则G(t,﹣t+4), 此时:NG=﹣, ∴, ∴当t=时,△CAN面积的最大值为, 由t=,得:, ∴N(,﹣3)。 | |