在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,等边三角形OAB的一个顶点为A(2,0),另一个顶点B在第一象限内。(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式;(2)如

在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,等边三角形OAB的一个顶点为A(2,0),另一个顶点B在第一象限内。(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式;(2)如

题型:模拟题难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,等边三角形OAB的一个顶点为A(2,0),另一个顶点B在第一象限内。
(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式;
(2)如果一个四边形是以它的一条对角线为对称轴的轴对称图形,那么我们称这样的四边形为“筝形”。点Q在(1)的抛物线上,且以O、A、B、Q为顶点的四边形是“筝形,求点Q的坐标;
(3)设△OAB的外接圆⊙M,试判断(2)中的点Q与⊙M的位置关系,并通过计算说明理由。
答案
解:(1)过B作BC⊥x轴于C,
∵等边三角形OAB的一个顶点为A(2,0),
∴OB=OA=2,AC=OC=1,∠BOC=60°,
∴BC=
∴B
设经过O、A、B三点的抛物线的解析式为:
将A(2,0)代入得:
解得
∴经过O、A、B三点的抛物线的解析式为
(2)依题意分为三种情况:
(ⅰ)当以OA、OB为边时,
∵OA=OB,
∴过O作OQ⊥AB交抛物线于Q,
则四边形OAQB是筝形,且∠QOA=30°,
作QD⊥x轴于D,QD=OD
设Q,则
解得:
∴Q
(ⅱ)当以OA、AB为边时,由对称性可知Q
(ⅲ)当以OB、AB为边时,抛物线上不存在这样的点Q使BOQA为筝形,
∴Q(3)点Q在⊙M内,
由等边三角形性质可知的外接圆圆心M是(2)中BC与OQ的交点,
当Q时,
∵MC∥QD,
∴△OMC∽△OQD,






∴Q内,
当Q时,由对称性可知点Q在内,
综述,点Q在内。
举一反三
如图,已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点,A点的坐标为(-1,0),过点C的直线y=x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H,若PB=5t,且0<t<1。
(1)填空:点C的坐标是____,b=____,c=____;
(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由。
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如图①,已知:四边形OABC中,O为直角坐标系的原点,A点坐标为(1,4),B点在x轴的正半轴上,C点坐标为(8,-4),动点P从点O出发,依次沿线段OA、AB、BC向点C移动。设P点移动的路径为Z,△POC的面积S随着Z的变化而变化的图像如图②所示(其中线段DE//x轴)。
(1)请你确定B、C两点的坐标;
(2)当动点P是经过点O、B的抛物线的顶点时,
①求此抛物线的解析式;
②在x轴上是否存在点M,使△PBM与△OBC相似?若存在,请求出所有点M的坐标;若不存在,请说明理由。
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如图,在平面直角坐标系中,将直线沿y轴向上平移1个单位,与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC。
(1)点A的坐标为(    ),点B的坐标为(    );
(2)求以C为顶点,经过B点的抛物线的函数关系式;
(3)在(2)中的抛物线上,是否存在点P,使△PAB的面积与△ABC的面积相等?如果存在,求出此时点P的坐标;如果不存在,请说明理由。
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如图,二次函数y=-x2+px+q的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,3),顶点M在第一象限,∠ABC=30°。
⑴求点A、B的坐标和二次函数的关系式;
⑵设直线与y轴的交点是D,在线段BC上任取一点E(不与B、C重合),经过A,B,E三点的圆交直线BD于点F,
①试判断△AEF的形状,并说明理由;
②设BF=m,m的取值范围是多少?(直接写出,无需过程)
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一条抛物线的开口向上,与y轴交点的纵坐标为-1,且经过(1,3),那么它的解析式可以是 [     ]
A.y=-x2+3x-1
B.y=-x2+3x+1
C.y=-x2+2x-1
D.y=x2+x+1
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