如图，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E。设△ADE的高AF为x（0<x

题型：专项题难度：来源：

如图，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E。设△ADE的高AF为x（0<x<6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y，（点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）。
（1）分别求出当0<x≤3与3<x<6时，y与x的函数关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

答案

解：（1）①当0＜x≤3时，由折叠得到的△A′ED落在△ABC内部如图1，重叠部分为△A′ED
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC
∴，
∴，
即DE=x
又∵FA′=FA=x
∴y=DE·A′F=×x·x
∴y=x²（0＜x≤3）
②当3＜x＜6时，由折叠得到的△A′ED有一部分落在△ABC外，如图2，重叠部为梯形EDPQ
∵FH=6-AF=6-x
A′H=A′F-FH=x-（6-x）=2x-6
又∵DE∥PQ
∴△A′PQ∽△A′DE
∴
∴，
PQ=3（x-3）
∴y=（DE+PQ）×FH=[x+3（x-3）]×（6-x）
∴y=-x²+18x-27（3＜x＜6）；
（2）当0＜x≤3时，y的最大值：y₁=x²=×3²=；
当3＜x＜6时，由y=-x²+18x-27=-（x-4）²+9 可知：
当x=4时，y的最大值：y₂=9；
∵y₁＜y₂，
∴当x=4时，y有最大值：y_最大=9。