已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac。（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为

题型：湖北省中考真题难度：来源：

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标； 
（3）根据（2）小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系？

答案

解：（1）由抛物线过B（0，1）得c=1，又b=-4ac， 顶点A（-，0），
∴-==2c=2，
∴A(2，0)
将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0 ，
∴，解得a =，b =-1，
故抛物线的解析式为y=x²-x+1；
(2)假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y)， 　　　　　　　　　　　　 　　
作CD⊥x轴于D ，连接AB、AC　　　　　　　　　　　　　
∵A在以BC为直径的圆上，
∴∠BAC=90°
∴ △AOB∽△CDA　　　　　　　　　　
∴OB·CD=OA·AD　　　　　　　　　　　
即1·y=2(x-2)，
∴y=2x-4 
由，解得x₁=10，x₂=2
∴符合题意的点C存在，且坐标为 (10，16)，或(2，0) 
∵P为圆心，
∴P为BC中点． 　
当点C坐标为(10，16)时，取OD中点P₁，连PP₁，　
则PP₁为梯形OBCD中位线
∴PP₁=(OB+CD)=
∵D(10，0)，
∴P₁(5，0)，
∴P(5，)
当点C坐标为(2，0)时，取OA中点P₂，连PP₂，　
则PP₂为△OAB的中位线，
∴PP₂=OB=，
∵A (2，0)，
∴P₂(1，0)，
∴P(1，)，
故点P坐标为(5，)，或(1，)；　　　
（3）设B、P、C三点的坐标为B(x₁，y₁)，P(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，由(2)可知：
。