如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（

题型：福建省月考题难度：来源：

如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．

答案

（1）由题意，可设抛物线的解析式为，
∵抛物线过原点，
∴，．
∴抛物线的解析式为
（2）和所求同底不等高，，
∴的高是高的3倍，即M点的纵坐标是． 
∴，即．
解之，得，．
∴满足条件的点有两个：，．
（3）不存在．
由抛物线的对称性，知，．
如图，若与相似，必有．
设交抛物线的对称轴于点，显然．
∴直线的解析式为．
由，得，．
∴．
过作轴，垂足为．
在中，，，
∴．又OB=4，
∴，，与不相似．
同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．
所以在该抛物线上不存在点N，使与相似．