如图，四边形ABCO是矩形，点A（3，0），B（3，4），动点M、N分别从点O、B出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点

题型：浙江省月考题难度：来源：

如图，四边形ABCO是矩形，点A（3，0），B（3，4），动点M、N分别从点O、B出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP∥OC，交AC于点P，连结MP，已知动点运动了x秒，△MPA的面积为S。
（1）求点P的坐标。（用含x的代数式表示）
（2）写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值。
（3）当△APM与△ACO相似时，点P的位置有几种情况？选择一种，并求出点P的坐标。
（4）△PMA能否成为轴对称图形？如能，求出所有点P的坐标；如不能，说明理由。

答案

解： （1）延长NP交x轴于点D。DA=x，OD=3-x， ∴△PDA∽△COA，
∴PD=x  ∴P（3-x，x）
（2）S=（3-x）·x=-x²+2x
∴由顶点坐标公式可求顶点(，)   ∴当x=，S_最大值=
（3）有三种情况
当△APM∽△ACO时，3-x=x，∴x=，∴p(，2)
（4）当PA=PM时, 3-x-x=x, ∴x=1 ∴P（2, )
当PA=AM时，PA=x，∴3-x=x，∴x=，∴P（，）
当PM=AM时，PM²=（3-2x）²+（x）²
∴（3-2x）²+（x）²=（3-2x）²
∴x=0或x=，∴P（3，0）或P（，）
∴P₁（2, )，P₂（，），P₃（3，0），P₄（，）