已知关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4.(1)探究m满足什么条件时,二次函数y的图象与x轴的交点的个数;(2)设二次函数y的图象与x轴的交
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已知关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4. (1)探究m满足什么条件时,二次函数y的图象与x轴的交点的个数; (2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),且x12+x22=5,与y轴的交点为C,它的顶点为M,求直线CM的解析式. |
答案
(1)令y=0,得:x2-(2m-1)x+m2+3m+4=0, ∴△=(2m-1)2-4(m2+3m+4)=-16m-15, 当△>0时,方程有两个不相等的实数根,即-16m-15>0, ∴m<-, 此时y的图象与x轴有两个交点; 当△=0时,方程有两个相等的实数根,即-16m-15=0, ∴m=-, 此时,y的图象与x轴只有一个交点; 当△<0时,方程没有实数根,即-16m-15<0, ∴m>-, 此时y的图象与x轴没有交点. ∴当m<-时,y的图象与x轴有两个交点; 当m=-时,y的图象与x轴只有一个交点; 当m>-时,y的图象与x轴没有交点.
(2)由根与系数的关系得x1+x2=2m-1,x1x2=m2+3m+4, ∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2m-1)2-2(m2+3m+4)=2m2-10m-7, ∵x12+x22=5, ∴2m2-10m-7=5, ∴m2-5m-6=0, 解得:m1=6,m2=-1, ∵m<-, ∴m=-1, ∴y=x2+3x+2, 令x=0,得y=2, ∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为(0,2), 又y=x2+3x+2=(x+)2-, ∴顶点M的坐标为(-,-), 设过C(0,2)与M(-,-)的直线解析式为y=kx+b, 解得k=,b=2, ∴所求的解析式为y=x+2. |
举一反三
已知二次函数y=mx2-mx+n的图象交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两点,x1<x2,交y轴的负半轴于C点,且AB=5,AC⊥BC,求此二次函数的解析式. |
方程ax2+bx+c=0的两根为-3,1,则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线______. |
抛物线y=ax2与直线y=3x+b只有一个公共点,则b=______. |
抛物线y=-(x-1)(x+2)与x轴的交点坐标是______,与y轴的交点坐标是______. |
已知二次函数y=x2+mx+m-5, (1)求证:不论m取何值时,抛物线总与x轴有两个交点; (2)求当m取何值时,抛物线与x轴两交点之间的距离最短. |
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