如图：△ABC的内切圆O与边BC切于点D，若∠BOC=135°，BD=3，CD=2，则△ABC的面积为=______．

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答案

∵△ABC的内切圆O与边BC切于点D，∠BOC=135°，
∴∠OBC+∠OCB=45°，∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠BCO，AE=AF，BE=BD，CD=FC，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠A=90°，
∴AB²+AC²=BC²，
∵BD=3，CD=2，
∴（3+AE）²+（AE+2）²=5²，
解得：AE=1，
∴AB=4，AC=3，
∴△ABC的面积为：

×AC×AB=

×4×3=6．
故答案为：6．

举一反三

如图，∠A=60°，AB=AC=2，⊙O为△ABC的内切圆，则阴影部分的面积为______．

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顶角为120°的等腰三角形腰长为4cm，则它的外接圆的直径______cm．

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如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，则等边△ABC的边长为______．

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如图1，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的斜边OB在x轴上，其中∠ABO=30°，OB=4．

（1）直接写出，Rt△AOB的内心P的坐标；
（2）如图2，若将Rt△AOB绕其直角顶点A顺时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到Rt△ACD，直角边AD与x轴相交于点N，直角边AC与y轴相交于点M，连接MN．设△MON的面积为S_△MON，△AOB的面积为S_△AOB，以点M为圆心，MO为半径作⊙M，
①当直线AD与⊙M相切时，试探求S_△MON与S_△AOB之间的关系．
②当S_△MON=

S_△AOB时，试判断直线AD与⊙M的位置关系，并说明理由．

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如图，△ABC的三边满足关系BC=

（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC的外角

平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H，
求证：（1）AI=BD；
（2）OI=

AE．

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