如图:△ABC的内切圆O与边BC切于点D,若∠BOC=135°,BD=3,CD=2,则△ABC的面积为=______.

如图:△ABC的内切圆O与边BC切于点D,若∠BOC=135°,BD=3,CD=2,则△ABC的面积为=______.

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如图:△ABC的内切圆O与边BC切于点D,若∠BOC=135°,BD=3,CD=2,则△ABC的面积为=______.
答案
∵△ABC的内切圆O与边BC切于点D,∠BOC=135°,
∴∠OBC+∠OCB=45°,∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠BCO,AE=AF,BE=BD,CD=FC,
∴∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠A=90°,
∴AB2+AC2=BC2
∵BD=3,CD=2,
∴(3+AE)2+(AE+2)2=52
解得:AE=1,
∴AB=4,AC=3,
∴△ABC的面积为:
1
2
×AC×AB=
1
2
×4×3=6.
故答案为:6.
举一反三
如图,∠A=60°,AB=AC=2,⊙O为△ABC的内切圆,则阴影部分的面积为______.
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顶角为120°的等腰三角形腰长为4cm,则它的外接圆的直径______cm.
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如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,⊙O的半径为4,则等边△ABC的边长为______.
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如图1,在平面直角坐标系xoy中,Rt△AOB的斜边OB在x轴上,其中∠ABO=30°,OB=4.
(1)直接写出,Rt△AOB的内心P的坐标;
(2)如图2,若将Rt△AOB绕其直角顶点A顺时针旋转α度(0°<α<90°),得到Rt△ACD,直角边AD与x轴相交于点N,直角边AC与y轴相交于点M,连接MN.设△MON的面积为S△MON,△AOB的面积为S△AOB,以点M为圆心,MO为半径作⊙M,
①当直线AD与⊙M相切时,试探求S△MON与S△AOB之间的关系.
②当S△MON=
1
4
S△AOB时,试判断直线AD与⊙M的位置关系,并说明理由.
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如图,△ABC的三边满足关系BC=
1
2
(AB+AC),O、I分别为△ABC的外心、内心,∠BAC的外角平分线交⊙O于E,AI的延长线交⊙O于D,DE交BC于H,
求证:(1)AI=BD;
(2)OI=
1
2
AE.
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