△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F,G是EF上的一点,且DG⊥EF,求证:DG平分∠BGC.
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△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F,G是EF上的一点,且DG⊥EF,求证:DG平分∠BGC.
题型:不详
难度:
来源:
△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F,G是EF上的一点,且DG⊥EF,求证:DG平分∠BGC.
答案
证明:连接DF、DE,设N、K分别是DF、DE的中点,连接BN、CK,OF,OD.则:
∵△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F,
∴BF=BD,CD=CE,
∴BN⊥DF,CK⊥DE,∠FBN=
1
2
∠FBD,
∵∠DOF=2∠E,∠DOF+∠FBD=180°,∠GDE+∠E=90°,
∴∠FBN=∠EDG,
∵DG⊥EG,
∴∠BNF=∠DGE=90°,
∴Rt△BFN
∽
Rt△DEG,
BF
DE
=
FN
GE
=
FD
2GE
(2分)
同理:Rt△CEK
∽
Rt△DFG,
CE
DF
=
EK
FG
=
ED
2FG
(2分)
∴BF?GE=
1
2
DF?DE=CE?FG(4分)
∴
BF
CE
=
FG
GE
,而∠BFG=∠CEG(2分)
∴△BFG
∽
△CEG,于是∠BGF=∠CGE.
∵DG⊥EF,∴∠BGD=∠CGD.
即DG平分∠BGC.
举一反三
在△ABC与△A′B′C′中,已知AB<A′B′,BC<B′C′,CA<C′A′.下列结论:
(1)△ABC的边AB上的高小于△A′B′C′的边A′B′上的高;
(2)△ABC的面积小于△A′B′C′的面积;
(3)△ABC的外接圆半径小于△A′B′C′的外接圆半径;
(4)△ABC的内切圆半径小于△A′B′C′的内切圆半径.其中,正确结论的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.4
题型:不详
难度:
|
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如图,等腰梯形ABCD的腰AD的长为3,⊙O为其内切圆,则它的中位线长是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
题型:泰安
难度:
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如图所示,△ABC,D,E,F三点将BC四等分,AG:AC=1:3,H为AB的中点,下列哪一个点为△ABC的重心( )
A.X
B.Y
C.Z
D.W
题型:不详
难度:
|
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如图所示,四边形ABCD为一正方形,E、F分别为BC、CD的中点,对角线AC与BD相交于O点,且AE与OB相交于G点,AF与OD相交于H点,下列说法正确的有( )
①E点是线段BC的重心;②G点是△ABC的重心;
③H点是△ADC的重心;④O点是正方形ABCD的重心.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:不详
难度:
|
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如图,等边△ABC,G是△ABC的重心,直线AG把△ABC分成面积相等的两部分,但是不是过G点的任意一条直线都把△ABC分成面积相等的两部分?用实验或说理的方法,给予探索并得出结论.
题型:不详
难度:
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