过E作EQ⊥AB于Q, ∵∠ACB=90°,AE平分∠CAB, ∴CE=EQ, ∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠CBA=∠CAB=45°, ∵EQ⊥AB, ∴∠EQA=∠EQB=90°, 由勾股定理得:AC=AQ, ∴∠QEB=45°=∠CBA, ∴EQ=BQ, ∴AB=AQ+BQ=AC+CE, ∴③正确;
作∠ACN=∠BCD,交AD于N, ∵∠CAD=∠CAB=22.5°=∠BAD, ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°, ∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD, ∴∠DBC=∠CAD, ∵AC=BC,∠ACN=∠DCB, ∴△ACN≌△BCD, ∴CN=CD,AN=BD, ∵∠ACN+∠NCE=90°, ∴∠NCB+∠BCD=90°, ∴∠CND=∠CDA=45°, ∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN, ∴AN=CN, ∴∠NCE=∠AEC=67.5°, ∴CN=NE, ∴CD=AN=EN=AE, ∵AN=BD, ∴BD=AE, ∴①正确,②正确;
过D作DH⊥AB于H, ∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°, ∠DBA=90°-∠DAB=67.5°, ∴∠MCD=∠DBA, ∵AE平分∠CAB,DM⊥AC,DH⊥AB, ∴DM=DH, 在△DCM和△DBH中 ∠M=∠DHB=90°,∠MCD=∠DBA,DM=DH, ∴△DCM≌△DBH, ∴BH=CM, 由勾股定理得:AM=AH, ∴====2, ∴AC+AB=2AM, AC+AB=2AC+2CM, AB-AC=2CM, ∵AC=CB, ∴AB-CB=2CM, ∴④正确. 故选D. |