在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为点D.(1)如果∠A=60°,求证:BD=3AD;(2)如果BD=3AD,求证:∠A=60°.

在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为点D.(1)如果∠A=60°,求证:BD=3AD;(2)如果BD=3AD,求证:∠A=60°.

题型:不详难度:来源:
在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为点D.
(1)如果∠A=60°,求证:BD=3AD;
(2)如果BD=3AD,求证:∠A=60°.魔方格
答案

魔方格
证明:(1)∵∠C=90°,CD⊥AB,∠A=60°,
∴∠ACD=∠B=30°,
∵∠C=90°,CD⊥AB,
∴AB=2AC,AC=2AD,
∴AB=4AD,
∴BD=3AD.

(2)取AB的中点O,连接CO,
∵BD=3AD,
∴设AD=x,则BD=3x,AB=4x,
∵∠C=90°,O是AB的中点,
∴OC=OA=2x,
OD=x=
1
2
CO

∵CD⊥AB,
∴∠OCD=30°,
∴∠COD=60°,
∵OA=OC,
∴△ACO是等边三角形,
∴∠A=60°.
举一反三
已知∠MAN,AC平分∠MAN.
(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,求证:AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

魔方格
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下列命题中真命题是(  )
A.同旁内角相等,两直线平行
B.两锐角之和为钝角
C.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
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已知:如图,Rt△ABC和Rt△ADC,∠ABC=∠ADC=90°,点E是AC的中点.
求证:∠EBD=∠EDB.魔方格
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如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BD=2CD,AD是∠BAC的角平分线,则∠B=______度.
魔方格
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如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,AC比BC长3cm,如果△ADC的周长为12cm,那么△BDC的周长为______cm.魔方格
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