如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点O是BC的中点，连接OA．（1）OA=OB=OC成立吗？请说明理由．（2）如图2，若点M，N分别在线段

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如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点O是BC的中点，连接OA．
（1）OA=OB=OC成立吗？请说明理由．
（2）如图2，若点M，N分别在线段AB，AC上移动，在移动中始终保持AN=BM，△OAN≌△OBM成立吗？，并说明理由．
（3）如图3，若点M，N分别在线段BA．AC的延长线上移动，在移动中始终保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并说明理由．

答案

（1）成立．
理由：∵点O是BC的中点
∴BO=CO=

1

2

BC，
∵∠BAC=90°
∴AO=

1

2

BC，
∴OA=OB=OC；

（2）成立．
理由：∵O是BC的中点
∴AO是Rt△ABC的BC边上的中线
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∴∠B=∠OAN=45°，AO=BO，
∵在△OAN和△OBM中，

AN=BM ∠NAO=∠B AO=BO

，
∴△OAN≌△OBM（SAS）；

（3）△OMN是等腰直角三角形；
理由：∵O是BC的中点
∴AO是Rt△ABC的BC边上的中线
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∴∠B=∠OAN=45°，AO=BO，
∵AN=BM，
∴AN=BM，
∵在△OAN和△OBM中，

AN=BM ∠NAO=∠B AO=BO

，
∴△OAN≌△OBM（SAS）；
∴OM=ON，∠AOM=CON，
∴∠MON=∠MOC+∠CON=∠MOC+∠AOM=∠AOC=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．