如图,已知矩形ABCD,AD=2,DC=4,BN=2AM=2MN,P在CD上移动,AP与DM交于点E,PN交CM于点F,设四边形MEPF的面积为S,求S的最大值

如图,已知矩形ABCD,AD=2,DC=4,BN=2AM=2MN,P在CD上移动,AP与DM交于点E,PN交CM于点F,设四边形MEPF的面积为S,求S的最大值

题型:不详难度:来源:
如图,已知矩形ABCD,AD=2,DC=4,BN=2AM=2MN,P在CD上移动,AP与DM交于点E,PN交CM于点F,设四边形MEPF的面积为S,求S的最大值.
答案
连接PM,设DP=x,则PC=4-x,
∵AMOP,
PE
EA
=
PD
AM

PE
PA
=
PD
PD+AM
,即
PE
PA
=
x
x+1

S△MEP
S△APM
=
PE
PA
且S△APM=
1
2
AM•AD=1,
∴S△MPE=
x
x+1

同理可得,S△MPF=
4-x
5-x

∴S=
x
x+1
+
4-x
5-x
=2-
1
x+1
-
1
5-x
=2-
6
-x2+4x+5
=2+
6
(x-2)2-9
≤2-
2
3
=
4
3

当x=2时,上式等号成立,
∴S的最大值为:
4
3

故答案为:
4
3

举一反三
如图过Q点的三条直线AA′,BB′,CC′把△ABC分成六个小三角形,已知S△AQB"=S△BQA"=4,S△CQA"=3,则x=S△AQC"=______,y=S△BQC"=______,z=S△CQB"=______.
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把三角形△ABC的三边分别向外延长一倍,称为三角形扩展一次,得到三角形△A1B1C1,那么△A1B1C1的面积是△ABC的______倍;把三角形△ABC的三边分别向外延长2倍,得到△A2B2C2,那么△A2B2C2的面积是△ABC的______倍;把三角形△ABC的三边分别向外延长3倍,得到△A3B3C3,那么△A3B3C3的面积是△ABC的______倍;如果把三角形△ABC的三边分别向外延长n倍,(其中n是正整数),那么△AnBnCn的面积是△ABC的______倍.
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已知D是△ABC边AB上的点,且△ABC的面积为2010,AD:DB=3:2,那么△ACD的面积是______.
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如图,若AD、AE分别是△ABC的高和中线,AD=BE=2,则△ABE的面积为______.
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如图,图中的七巧板是由7块图形砌成的正方形,如果砌成的正方形面积为1,则c,d,e,f的面积为(  )
A.
1
6
1
8
1
6
1
8
B.
1
16
1
8
1
16
1
8
C.
1
16
1
4
1
16
1
4
D.
1
6
1
8
1
16
1
4

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