已知四边形ABCD的面积为32,AB、CD、AC的长都是整数,且它们的和为16.(1)这样的四边形有几个?(2)求这样的四边形边长的平方和的最小值.
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已知四边形ABCD的面积为32,AB、CD、AC的长都是整数,且它们的和为16. (1)这样的四边形有几个? (2)求这样的四边形边长的平方和的最小值. |
答案
(1)如图,记AB=a,CD=b,AC=l,并设△ABC的边BA上的高为h1,△ADC的边DC上的高为h2, 则S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=(h1a+h2b)≤l(a+b), 当且仅当h1=h2=l时等号成立,即在四边形ABCD中,当AC⊥AB,AC⊥CD时,等号成立, 由已知得64≤l(a+b),又∵a+b=16-l, 得64≤l(16-l)=64-(l-8)2≤64, 于是l=8,a+b=8,且这时AC⊥AB,AC⊥CD, 因此这样的四边形由如下4个:a=1,b=7,l=8;a=2,b=6,l=8;a=3,b=5,l=8;a=b=4,l=8;
(2)由于AB=a,CD=8-a,则BC2=82+a2,AD2=82+(8-a)2, 故这样的四边形的边长的平方和为: 2a2+2(8-a)2+128=4(a-4)2+192, 当a=b=4时,平方和最小,且为192. 故答案为:4,192.
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举一反三
已知坐标平面内的点P(2,-1),Q(1,-2),△QPO的面积是______单位. |
若△ABC三边的长a,b,c均为整数,且++=,a+b-c=8,设△ABC的面积为S,则S的最大值是______,最小值是______. |
如图(1),AD,AE分别是△ABC中BC边上的高和中线,已知AD=5cm,EC=2cm. (1)求△ABE和△AEC的面积; (2)通过做题,你能发现什么结论?请说明理由. (3)根据(2)中的结论,解决下列问题:如图(2),CD是△ABC的中线,DE是△ACD的中线,EF是△ADE的中线,若△AEF的面积为1cm2,求△ABC的面积.
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如图,已知四边形ABCD面积为S,E、F为AB的三等分点,M、N为DC的三等分点.试用S的代数式表示四边形EFNM的面积.
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如图,三角形ABC的面积为1,BD:DC=2:1,E为AC的中点,AD与BE相交于P,那么四边形PDCE的面积为______.
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