在直角△ABC中，AD是斜边上的高，角平分线CE交AD于O，过O引OF∥CB交AB于F．求证：AE=BF．

题型：不详难度：来源：

在直角△ABC中，AD是斜边上的高，角平分线CE交AD于O，过O引OF∥CB交AB于F．求证：AE=BF．

答案

证明：过E点作EH⊥BC于H点，如图，


∵∠AEO=∠B+∠BCE，∠AOE=∠OAD+∠ACO，
而直角△ABC中，AD是斜边上的高，CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，∠B=∠DAC，
∴∠AEO=∠AOE，
∴OA=AE，
∵OF∥BC，
∴∠AFO=∠B，∠AOF=90°，
又∵CE平分∠ACB，EA⊥AC，EH⊥BC，
∴EA=EH，
∴OA=EH，
在Rt△AFO和Rt△EBH中

∠AFO=∠EBH ∠AOF=∠EHB AO=EH

，
∴Rt△AFO≌Rt△EBH（AAS），
∴AF=BE，
∴AE=BF．