已知，如图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，∠AEF=∠AFE。 求证：EF⊥ BC。

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已知，如图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，∠AEF=∠AFE。
求证：EF⊥ BC。

答案

证法一：如图1，作BC边上的高AD，D为垂足，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD
又∵∠BAC=∠E+∠AFE，∠AEF=∠AFE
∴∠CAD=∠E，
∴AD∥EF
∵AD⊥BC，
∴EF⊥BC
证法二：如图2，过点A作AG⊥EF于G

 ∵∠AEF=∠AFE，AG=AG，∠AGE=∠AGF=90°，
∴△AGE≌△AGF
∵AB=AC，
∴∠B=∠C
又∵∠EAF=∠B+∠C，
∴∠EAG+∠GAF=∠B+∠C
∴∠EAG=∠C，
∴AG∥BC
∵AG⊥EF，
∴EF⊥BC
证法三：如图3，过点E作EH∥BC交BA的延长线于H

 ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠H=∠B=∠C=∠AEH，
∵∠AEF=∠AFE，∠H+∠AFE+∠FEH=180°，
∴∠H+∠AEH+∠AEF+∠AFE=180°，
∴∠AEF+∠AEH=90°，即∠FEH=90°，
∴EF⊥EH，又EH∥BC，
∴EF⊥BC
证法四：如图4，延长EF交BC于K

 ∵AB=AC，
∴∠B=∠C
∴∠B=（180°-∠BAC）
∵∠AEF=∠AFE，
∴∠AFE=（180°-∠EAF）
∵∠BFK=∠AFE
∴∠BFK=（180°-∠EAF）
∴∠B+∠BFK=（180°-∠BAC）+（180°-∠EAF） =[360°-（∠EAF+∠BAC）]
∵∠EAF+∠BAC=180°，
∴∠B+∠BFK=90°，
即∠FKB=90°
∴EF⊥BC