已知△ABC为等边三角形,AB=6,P是AB上的一个动点(与A、B不重合),过点P作AB的垂线与BC相交于点D,以点D为正方形的一个顶点,在△ABC内作正方形D
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已知△ABC为等边三角形,AB=6,P是AB上的一个动点(与A、B不重合),过点P作AB的垂线与BC相交于点D,以点D为正方形的一个顶点,在△ABC内作正方形D
题型:不详
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已知△ABC为等边三角形,AB=6,P是AB上的一个动点(与A、B不重合),过点P作AB的垂线与BC相交于点D,以点D为正方形的一个顶点,在△ABC内作正方形DEFG,其中D、E在BC上,F在AC上,
(1)设BP的长为x,正方形DEFG的边长为y,写出y关于x的函数解析式及定义域;
(2)当BP=2时,求CF的长;
(3)△GDP是否可能成为直角三角形?若能,求出BP的长;若不能,请说明理由.
答案
(1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,AB=BC=AC=6.(1分)
∵DP⊥AB,BP=x,
∴BD=2x.(1分)
又∵四边形DEFG是正方形,
∴EF⊥BC,EF=DE=y,
∴
EC=
3
3
y
.(1分)
∴
2x+y+
3
3
y=6
,(2分)
∴
y=(
3
-3)x+9-3
3
.(1分)
(6-3
3
≤x<3)(1分)
(2)当BP=2时,
y=(
3
-3)×2+9-3
3
=
3-
3
.(1分)
CF=
2y
3
=2
3
-2
.(1分)
(3)△GDP能成为直角三角形.(1分)
①∠PGD=90°时,
6-x=
3
y+y
,
6-x=(
3
+1)•
[(
3
-3)x+9-3
3
]
,
得到:
x=
30-6
3
11
.(2分)
②∠GPD=90°时,G在AB上,参照(1).
举一反三
如图:△ABC是等边三角形
(1)若AD=BE=CF,求证△DEF是等边三角形.
(2)请问(1)的逆命题成立吗?若成立,请证明,若不成立,请用反例说明
题型:不详
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如图所示,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于R点,PS⊥AC于S点,PR=PS,则四个结论:①点P在∠A的平分线上;②AS=AR;③QP
∥
AR;④△BRP≌△QSP,正确的结论是( )
A.①②③④
B.只有①②,
C.只有②③
D.只有①③
题型:不详
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已知:如图,等边△ABC的边长是4,D是边BC上的一个动点(与点B、C不重合),连接AD,
作AD的垂直平分线分别与边AB、AC交于点E、F.
(1)求△BDE和△DCF的周长和;
(2)设CD长为x,△BDE的周长为y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当△BDE是直角三角形时,求CD的长.
题型:不详
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如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则四个结论正确的是( )
①点P在∠A的平分线上;
②AS=AR;
③QP
∥
AR;
④△BRP≌△QSP.
A.全部正确
B.仅①和②正确
C.仅②③正确
D.仅①和③正确
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如图所示,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,延长AB到D,使AD=BC,连接DC,则∠BCD的度数是______.
题型:不详
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