如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则四个结论正确的是( )①点P在∠A的平分线上;②AS=AR;③QP∥
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如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则四个结论正确的是( ) ①点P在∠A的平分线上; ②AS=AR; ③QP∥AR; ④△BRP≌△QSP.A.全部正确 | B.仅①和②正确 | C.仅②③正确 | D.仅①和③正确 |
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答案
∵PR⊥AB于R,PS⊥AC于S ∴∠ARP=∠ASP=90° ∵PR=PS,AP=AP ∴Rt△ARP≌Rt△ASP ∴AR=AS,故(2)正确,∠BAP=∠CAP ∴AP是等边三角形的顶角的平分线,故(1)正确 ∴AP是BC边上的高和中线,即点P是BC的中点 ∵AQ=PQ ∴点Q是AC的中点 ∴PQ是边AB对的中位线 ∴PQ∥AB,故(3)正确 ∵∠B=∠C=60°,∠BRP=∠CSP=90°,BP=CP ∴△BRP≌△QSP,故(4)正确 ∴全部正确. 故选A. |
举一反三
如图所示,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,延长AB到D,使AD=BC,连接DC,则∠BCD的度数是______.
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如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有______.(把你认为正确的序号都填上)
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如图,A、B、C三点在同一直线上,分别以AB、BC为边,在直线AC的同侧作等边△ABC和等边△BCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN得△BMN,试判断△BMN的形状,并说明理由.
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已知:等边△ABC的边长为a. 探究(1):如图1,过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG,求证:△MNG是等边三角形且MN=a; 探究(2):在等边△ABC内取一点O,过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA,垂足分别为点D、E、F. ①如图2,若点O是△ABC的重心,我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论(不必证明):结论1. OD+OE+OF=a;结论2. AD+BE+CF=a; ②如图3,若点O是等边△ABC内任意一点,则上述结论1,2是否仍然成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.
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如图,△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形,且PA⊥PD.有下列四个结论: (1)∠PBC=15°;(2)AD∥BC;(3)直线PC与AB垂直;(4)四边形ABCD是轴对称图形. 其中正确结论个数是( )
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