(1)证明:如图1,∵△ABC为等边三角形, ∴∠ABC=60°. ∵BC⊥MN,BA⊥MG, ∴∠CBM=∠BAM=90°. ∴∠ABM=90°-∠ABC=30°. ∴∠M=90°-∠ABM=60°. 同理:∠N=∠G=60°. ∴△MNG为等边三角形. 在Rt△ABM中,BM===a, 在Rt△BCN中,BN===a, ∴MN=BM+BN=a.
(2)②:结论1成立. 证明:如图3,过点O作GH∥BC,分别交AB、AC于点G、H,过点H作HM⊥BC于点M, ∴∠DGO=∠B=60°,∠OHF=∠C=60°, ∴△AGH是等边三角形, ∴GH=AH. ∵OE⊥BC, ∴OE∥HM, ∴四边形OEMH是矩形, ∴HM=OE. 在Rt△ODG中,OD=OG•sin∠DGO=OG•sin60°=OG, 在Rt△OFH中,OF=OH•sin∠OHF=OH•sin60°=OH, 在Rt△HMC中,HM=HC•sinC=HC•sin60°=HC, ∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH =(GH+HC)=AC=a.
(2)②:结论2成立. 证明:如图4,连接OA、OB、OC,根据勾股定理得: BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①, CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②, AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③, ①+②+③得:BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2, ∴BE2+CF2+AD2=(a-AD)2+(a-BE)2+(a-CF)2=a2-2AD•a+AD2+a2-2BE•a+BE2+a2-2CF•a+CF2 整理得:2a(AD+BE+CF)=3a2 ∴AD+BE+CF=a. |