如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以

如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以

题型:不详难度:来源:
如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQAE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有______.(把你认为正确的序号都填上)
答案
①∵正△ABC和正△CDE,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,∠BCE=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ADC≌△BEC(SAS),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,(故①正确);

②又∵CD=CE,∠DCP=∠ECQ=60°,∠ADC=∠BEC,
∴△CDP≌△CEQ(ASA).
∴CP=CQ,
∴∠CPQ=∠CQP=60°,
∴∠QPC=∠BCA,
∴PQAE,(故②正确);

③∵△CDP≌△CEQ,
∴DP=QE,
∵△ADC≌△BEC
∴AD=BE,
∴AD-DP=BE-QE,
∴AP=BQ,(故③正确);

④∵DE>QE,且DP=QE,
∴DE>DP,(故④错误);

⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°,(故⑤正确).
∴正确的有:①②③⑤.
故答案为:①②③⑤.
举一反三
如图,A、B、C三点在同一直线上,分别以AB、BC为边,在直线AC的同侧作等边△ABC和等边△BCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN得△BMN,试判断△BMN的形状,并说明理由.
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已知:等边△ABC的边长为a.
探究(1):如图1,过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG,求证:△MNG是等边三角形且MN=


3
a;
探究(2):在等边△ABC内取一点O,过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA,垂足分别为点D、E、F.
①如图2,若点O是△ABC的重心,我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论(不必证明):结论1. OD+OE+OF=


3
2
a;结论2. AD+BE+CF=
3
2
a;
②如图3,若点O是等边△ABC内任意一点,则上述结论1,2是否仍然成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.
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如图,△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形,且PA⊥PD.有下列四个结论:
(1)∠PBC=15°;(2)ADBC;(3)直线PC与AB垂直;(4)四边形ABCD是轴对称图形.
其中正确结论个数是(  )
A.1B.2C.3D.4

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如图,∠MON=90°,边长为2的等边三角形ABC在∠MON内部,但两顶点A、B分别在边OM、ON上滑动,点D是AB边中点
(1)求CD的长度;
(2)探究:△ABC在滑动的过程中,点C与点O之间的最大距离是多少.
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如图,等边△ABC中,F是AB中点,EF⊥AC于E,若△ABC的边长为10,则AE=______,AE:EC=______.
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