已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC= 90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点． (Ⅰ)证明：MN∥平面ACC

题型：福建省模拟题难度：来源：

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，∠BAC= 90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ACC₁A₁；
(Ⅱ)求二面角M-AN-B的余弦值。

答案

解：依条件可知AB，AC，AA₁两两垂直，如图，
以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，
根据条件容易求出如下各点坐标： A(0，0，0)，B(0，2，0)，
C(-1，0，0)，A₁(0，0，2)，，
，
(Ⅰ)证明：∵是平面ACC₁A₁的一个法向量，
且，所以，
又∵平面ACC₁A₁，
∴MN∥平面ACC₁A₁。
(Ⅱ)设n=（x，y，z）是平面AMN的法向量，
因为，
由，得，
解得平面AMN的一个法向量为n=（4，2，-1），
由已知，平面ABC的一个法向量为m=（0，0，1），
，
∴二面角M-AN-B的余弦值是。