如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH 是四棱锥的高,E为AD中点。(1)证明:PE⊥BC;(2)若∠APB=∠A

如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH 是四棱锥的高,E为AD中点。(1)证明:PE⊥BC;(2)若∠APB=∠A

题型:高考真题难度:来源:
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH 是四棱锥的高,E为AD中点。

(1)证明:PE⊥BC;
(2)若∠APB=∠ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值。
答案
解:以H为原点,HA,HB,HP分别为x,y,z轴,线段HA的长为单位长,建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),B(0,1,0)
(1)设C(m,0,0),P(0,0,n)(m<0,n>0)

可得
因为
所以PE⊥BC。
(2)由已知条件可得

设n=(x,y,z)为平面PEH的法向量
,即
因此可以取n=(1,,0)
可得
所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为
举一反三
如图所示,等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3,点E是线段BD上异于点B、D的动点,点F在BC边上,且EF⊥AB。现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE,记BE=x,V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积。

(1)求V(x)的表达式;
(2)当x为何值时,V(x)取得最大值?
(3)当V(x)取得最大值时,求异面直线AC与PF所成角的余弦值。
题型:广东省高考真题难度:| 查看答案
如图,在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC中点。

(1)证明:SO⊥平面ABC;
(2)求二面角A-SC-B的余弦值。
题型:0127 模拟题难度:| 查看答案
如图,在多面体ABCDA1E中,底面ABCD为正方形,AA1⊥平面ABCD,CE⊥平面ABCD,AA1=2AB=4,且CE=λAA1,A1C⊥平面BED。
(1)求λ的值;
(2)求二面角A1-BD-E的余弦值。
题型:模拟题难度:| 查看答案
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,A1A=,M是CC1的中点,
(1)求证:A1B⊥AM;
(2)求二面角B-AM-C的平面角的大小.

题型:江苏模拟题难度:| 查看答案
如图,已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′中,四边形ABCD为正方形,AA′=2AB=2,E为棱CC′的中点,
(1)求证:A′E⊥平面BDE;
(2)设F为AD中点,G为棱BB′上一点,且BG=BB′,求证:FG∥平面BDE;
(3)在(2)的条件下求二面角G-DE-B的余弦值.

题型:安徽省模拟题难度:| 查看答案
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