如图所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB。现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使P

题型：广东省高考真题难度：来源：

如图所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB。现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积。

（1）求V（x）的表达式；
（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。

答案

解：（1）∵EF⊥AB，
∴EF⊥PE
又∵PE⊥AE，EF∩AE=E，且PE在平面ACFE外，
∴PE⊥平面ACFE
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF∥CD
∴
所以四边形ACFE的面积

∴四棱锥P-ACFE的体积

即；
（2）由（1）知
令V"（x）=0x=6
∵当0＜x＜6时，V"（x）>0，当6＜x＜时，V"（x）＜0
∴当BE=x=6时，V（x）有最大值，最大值为；（3）如图，以点E为坐标原点，向量分别为x，y，z轴的正向建立空间直角坐标系
则E（0，0，0），P（0，0，6），，
于是
AC与PF所成角θ的余弦值为
∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为。