如图所示，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于R点，PS⊥AC于S点，PR=PS，则四个结论：①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△

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如图所示，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于R点，PS⊥AC于S点，PR=PS，则四个结论：①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP，正确的结论是（　　）

A．①②③④

B．只有①②，

C．只有②③

D．只有①③

答案

∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上，∴①正确；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，②正确；
∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，④也正确
∵①②③④都正确，故选A．

举一反三

已知：如图，等边△ABC的边长是4，D是边BC上的一个动点（与点B、C不重合），连接AD，

作AD的垂直平分线分别与边AB、AC交于点E、F．
（1）求△BDE和△DCF的周长和；
（2）设CD长为x，△BDE的周长为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BDE是直角三角形时，求CD的长．

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如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是（　　）
①点P在∠A的平分线上；
②AS=AR；
③QP∥AR；
④△BRP≌△QSP．

A．全部正确

B．仅①和②正确

C．仅②③正确

D．仅①和③正确

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如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，延长AB到D，使AD=BC，连接DC，则∠BCD的度数是______．

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如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
恒成立的结论有______．（把你认为正确的序号都填上）

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如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABC和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN，试判断△BMN的形状，并说明理由．

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