已知:在△ABC中,∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P.(1)当△ABC为等边三角形(如图1)时,求证:EP=DP;(2)当△ABC不是等边三角形,但
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已知:在△ABC中,∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P. (1)当△ABC为等边三角形(如图1)时,求证:EP=DP; (2)当△ABC不是等边三角形,但∠ACB=60°(如图2)时,(2)中的结论是否还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
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答案
证明:(1)∵△ABC为等边三角形,AD平分∠CAB,∴PD⊥BC,(1分) 同理,PE⊥AC, 作PH⊥AB于H,(1分) ∵AD平分∠CAB,PE⊥AC,∴PE=PH(1分) 同理PD=PH ∴PD=PE(1分)
(2)EP=DP依然成立.(1分) 证明:不妨设∠CAB<∠CBA 作PH⊥AC于H,PM⊥CB于M,PQ⊥AB于Q, 则点H在线段CE上,点M在线段BD上 ∵∠CAB和∠ACB的平分线AD、BE交于点P,∴PH=PQ=PM,(1分) ∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°,∠ACB=60°, ∴∠CAB+∠ABC=120°,(1分) ∵AD、BE分别平分∠CAB、∠ABC, ∴∠PAB+∠PBA=60°,(1分) ∵∠CEP=∠CAP+∠PAB+∠PBA=∠CAP+60°, ∠ADB=∠CAP+∠ACD=∠CAP+60°, ∴∠CEP=∠ADB,(1分) 在△PHE和△PMD中,∠HEP=∠MDP,∠EHP=∠DMP=90°,PH=PM, ∴△PHE≌△PMD,(1分) ∴PE=PD (不同方法请相应给分) |
举一反三
如图所示,正方形ABCD的面积为18,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为( ) |
如图,等边△ABC中,AD是BC边上的高,AB=10cm,则线段DC的长为______cm. |
如图,等腰梯形ABCD下底与上底的差恰好等于腰长,DE∥AB,则∠DEC等于______. |
如图,等边三角形AOB绕点O旋转到△A′OB′的位置,且OA′⊥OB,则△AOB旋转了______度. |
如图,四边形ABCD是平行四边形,E、A、F在同一直线上,且∠EAD=∠BAF. (1)△CEF是等腰三角形吗?请说明理由. (2)想一想:△CEF的哪两条边之和等于平行四边形ABCD的周长,并说明理由. |
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