如图,C为线段AE上一动点(不与A、E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接P

如图,C为线段AE上一动点(不与A、E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接P

题型:不详难度:来源:
如图,C为线段AE上一动点(不与A、E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下五个结论:①AD=BE;②PQAE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°其中完全正确的是(  )
A.①②③④B.②③④⑤C.①③④⑤D.①②③⑤
魔方格
答案
①△ABC和△DCE均是等边三角形,点A,C,E在同一条直线上,
∴AC=BC,EC=DC,∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△ECB
∴AD=BE,故本选项正确;
②∵△ACD≌△ECB
∴∠CBQ=∠CAP,
又∵∠PCQ=∠ACB=60°,CB=AC,
∴△BCQ≌△ACP,
∴CQ=CP,又∠PCQ=60°,
∴△PCQ为等边三角形,
∴∠QPC=60°=∠ACB,
∴PQAE,故本选项正确;
③∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°,
∴∠ACP=∠BCQ,
∵AC=BC,∠DAC=∠QBC,
∴△ACP≌△BCQ(ASA),
∴CP=CQ,AP=BQ,故本选项正确;
④已知△ABC、△DCE为正三角形,
故∠DCE=∠BCA=60°?∠DCB=60°,
又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA,∠BCA=60°?∠DPC>60°,
故DP不等于DE,故本选项错误;
⑤∵△ABC、△DCE为正三角形,
∴∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,DC=EC,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠CAD=∠CBE,
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB,
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°,
∴∠AOB=60°,
故本选项正确.
综上所述,正确的结论是①②③⑤.
故选D.
举一反三
等边三角形对称轴的条数是(  )
A.1条B.2条C.3条D.4条
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已知∠ABC=30°,O是∠ABC的内一点,O关于AB,BC的对称点分别为P,Q,则△PBQ一定是(  )
A.等边三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
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如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.则下列结论:①AD=BE;②PQAE;③AP=BQ;④DE=DP.其中正确的是(  )
A.只有①②④B.只有①②③C.只有②③④D.只有①③④
魔方格
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下列图案是由同样的等边三角形按一定规律拼接而成,依此规律,第5个图案中的三角形与第1个图案中的三角形能够全等的共有______个.

魔方格
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如图,等边△ABC中,点P在△ABC内,连接PA、PB,将△ABP绕某一点逆时针旋转至△ACQ处.
(1)指出旋转中心及旋转角度数;
(2)边结PQ,△APQ是什么三角形?试说明你的结论.魔方格
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