如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,P为BC边上任意一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE,连接EF.(
题型:锦州一模难度:来源:
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,P为BC边上任意一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE,连接EF. (1)试探索EF与AB位置关系,并证明; (2)如图2,当点P为BC延长线上任意一点时,(1)结论是否成立?请说明理由. (3)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=m°,P为BC延长线上一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE,使得PC=PF,PQ=PE,连接EF.要使(1)的结论依然成立,则需要添加怎样的条件?为什么?
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答案
(1)EF⊥AB. ∵△PCF和△PQE都是等边三角形, ∴PF=PC,PE=PQ, ∠EPF+∠FPQ=∠QPC+∠FPQ=60°, ∴∠EPF=∠QPC, ∴△PFE≌△PCQ; ∴∠EPF=∠QPC=90°, ∴EF⊥PF; 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, ∴∠B=60°; 又∵∠FPC=60°, ∴∠B=∠FPC, ∴PF∥AB(同位角相等,两直线平行), ∴EF⊥AB;
(2)当点P为BC延长线上任意一点时,(1)结论成立. 证明:∵△PCF和△PQE都是等边三角形, ∴PF=PC,PE=PQ, ∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°, ∴∠EPF=∠QPC, ∴△PFE≌△PCQ; ∴∠EFP=∠QCP=90°, ∴EF⊥PF; 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, ∴∠B=60°; 又∵∠FPC=60°, ∴∠B=∠FPC, ∴PF∥AB(内错角相等,两直线平行), ∴EF⊥AB;
(3)要使(1)的结论依然成立,则需要添加条件是:∠CPF=∠B=∠QPE. 需要证明△PFE≌△PCQ、PF∥AB(内错角相等,两直线平行),才能证明EF⊥AB. |
举一反三
如图,已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧,则下面错误的是( )A.△ABD≌△EBC | B.△NBC≌△MBD | C.DM=DC | D.∠ABD=∠EBC |
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如图,C为线段AE上一动点(不与A、E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°其中完全正确的是( ) |
已知∠ABC=30°,O是∠ABC的内一点,O关于AB,BC的对称点分别为P,Q,则△PBQ一定是( )A.等边三角形 | B.钝角三角形 | C.直角三角形 | D.等腰直角三角形 |
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如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.则下列结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP.其中正确的是( )A.只有①②④ | B.只有①②③ | C.只有②③④ | D.只有①③④ |
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