已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边△OA1B1，A1B1与OB相交于点A2．（1）求线段OA2的长；（2）若再以OA2为边

题型：不详难度：来源：

已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA₁为边，按逆时针方向作等边△OA₁B₁，A₁B₁与OB相交于点A₂．
（1）求线段OA₂的长；
（2）若再以OA₂为边按逆时针方向作等边△OA₂B₂，A₂B₂与OB₁相交于点A₃，按此作法进行下去，得到△OA₃B₃，△OA₄B₄，…，△OA_nB_n（如图）．求△OA₆B₆的周长；
（3）直接写出△OA_nB_n的周长．

答案

（1）OA2=

3

2

OA1=

3

2

×(

3

2

OA)，=

3

4

OA=

3

4

a；
（2）依题意，得OA1=

3

2

OA，
OA2=

3

2

OA1=(

3

2

)2OA，
OA3=

3

2

OA2=(

3

2

)3OA，
以此类推，OA6=(

3

2

)6OA=

27

64

OA=

27

64

a，l△OA6B6=3OA6=

81

64

a，即OA₆B₆的周长为

81

64

a，
（3）根据上面结果可知：OA_n=(

3

2

)na，
故△OA_nB_n的周长=3(

3

2

)na．