如图，三个等圆两两外切于点A﹑B﹑C，在圆弧AB﹑BC﹑CA所围成的曲线区域内任取一点P，边接PA﹑PB﹑PC，试问:以PA﹑PB﹑PC为边长能否组成一个锐角三

题型：广东省竞赛题难度：来源：

如图，三个等圆两两外切于点A﹑B﹑C，在圆弧AB﹑BC﹑CA所围成的曲线区域内任取一点P，边接PA﹑PB﹑PC，试问:以PA﹑PB﹑PC为边长能否组成一个锐角三角形? 证明你的结论。

答案

解：以PA、PB、PC为边长能组成一个锐角三角形，
  证明如下： 连接O₁O₂、O₁O₃、O₂O₃，AB、BC、AC，
  易证△O₁O₂O₃，△ABC都是正三角形
   把△APB绕点A旋转60°至△ACPˊ，得△APPˊ是正三角形 PˊC=PB ，PA=P Pˊ
   ∴△PPˊC就是以PA、PB、PC的边长组成的三角形
  记∠APB=α，∠BPC=β，∠APC=γ
   ∵P在正三角形ABC的内部
   ∴α＞60°，β＞60°，γ＞60°
  又∵P在弧AB的外部，弧AB所含的圆周角为150°
   ∴α＜150°，同理β＜150°，γ＜150° 
   ∵∠PPˊC=∠A PˊC-60°=α-60°，
  ∠C PPˊ=∠CPA-60°=γ-60°
    ∴∠PˊCP=180°-（α-60°）-（γ-60°）=300°-（α+γ）=β-60°，
    ∵60°＜α，β，γ＜150°
    ∴0°＜α-60°，β-60°，γ-60°＜90°
    ∴△PPˊC为锐角三角形