如图(1),凸四边形ABCD,如果点P满足∠APD=∠APB=α.且∠BPC=∠CPD=β,则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.(1)在图(3)正方形ABC

如图(1),凸四边形ABCD,如果点P满足∠APD=∠APB=α.且∠BPC=∠CPD=β,则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.(1)在图(3)正方形ABC

题型:浙江省期中题难度:来源:
如图(1),凸四边形ABCD,如果点P满足∠APD=∠APB=α.且∠BPC=∠CPD=β,则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.
(1)在图(3)正方形ABCD内画一个半等角点P,且满足α≠β;
(2)在图(4)四边形ABCD中画出一个半等角点P,保留画图痕迹(不需写出画法);
(3)若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2(如图(2)),证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点.
答案
解:(1)所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点
(2)画点B关于AC的对称点B",延长DB"交AC于点P,点P为所求

(3)连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B,根据题意,∠AP1D=∠AP1B,∠DP1C=∠BP1C
∴∠AP1B+∠BP1C=180度
∴P1在AC上
同理,P2也在AC上
在△DP1P2和△BP1P2中,∠DP2P1=∠BP2P1,∠DP1P2=∠BP1P2,P1P2公共
∴△DP1P2≌△BP1P2
所以DP1=BP1,DP2=BP2,于是B、D关于AC对称
设P是P1P2上任一点,连接PD、PB,由对称性,得∠DPA=∠BPA,∠DPC=∠BPC
所以点P是四边形的半等角点
举一反三
如图,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于D,交AC于E,BD=CE.求证:AB=AC.
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如图,点D、E分别在线段AB、AC上,BE、CD相交于点O,AE=AD,要使△ABE≌△ACD,需添加一个条件是(    ).(答案不唯一,只要写一个条件)
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如图,已知AD平分∠BAC,AB=AC,则下列结论错误的是
[     ]
A.△ADC≌△ADB
B.AD垂直平分BC
C.BC垂直平分AD
D.四边形ABDC是轴对称图形
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一块三角形玻璃被小红碰碎成四块,如图,小红只带其中的两块去玻璃店,买了一块和以前一样的玻璃,你认为她带哪两块去玻璃店了
A.带其中的任意两块
B.带1,4或3,4就可以了
C.带1,4或2,4就可以了
D.带1,4或2,4或3,4均可
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如图1,在△ABC中,当∠C=90°,AC=BC时,此时,我们称这种特殊的三角形为等腰直角三角形.


(1)如图2,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,请连接AD,BE,并请你猜一猜AD与BE是否相等?
(2)如果图2中的AD=BE,请你利用所学知识说明理由.
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