(1)证明:如图①,∵BD⊥AC,∠ABC=90°, ∴∠ADB=∠ABC, 又∵∠A=∠A, ∴△ADB≌△ABC, ∴, ∴AB2=AD·AC. (2)解:方法一: 如图②,过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点C, ∵BE⊥AD, ∴∠CGD=∠BDE=90°,CG∥BF. ∴, ∴AB=BC=2BD=2DC,BD=DC, 又∵∠BDE=∠CDG, ∴△BDE≌△CDG, ∴ED=GD=EG. 由(1)可得:AB2=AE·AD,BD2=DE·AD, ∴=4, ∴AE=4DE, ∴=2. ∴CG∥BF, ∴=2. 方法二: 如图③,过点D作DG∥BF,交AC于点G, ∵, ∴BD=DC=BC,AB=BC. ∵DG∥BF, ∴=2,FC=2FG. 由(1)可得:AB2=AE·AD,BD2=DE·AD, ∴=4, ∵DG∥BF, ∴=4, ∴=2. (3)解:点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合),有三种情况: (I)当点D在线段BC上时,如图④所示: 过点D作DG∥BF,交AC边于点G. ∵, ∴BD=nDC,BC=(n+1)DC,AB=n(n+1)DC. ∵DG∥BF, ∴=n, ∴FG=nGC,FG=FC. 由(1)可得:AB2=AE·AD,BD2=DE·AD, ∴=(n+1)2; ∵DG∥BF, ∴=(n+1)2, 即=(n+1)2,化简得:=n2+n; (II)当点D在线段BC的延长线上时,如图⑤所示: 过点D作DG∥BE,交AC边的延长线于点G. 同理可求得:=n2﹣n; (III)当点D在线段CB的延长线上时,如图⑥所示: 过点D作DG∥BF,交CA边的延长线于点G. 同理可求得:=n﹣n2.
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