已知，如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=4，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

已知，如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=4，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°．
（1）求AP的长；
（2）求证：点P在∠MON的平分线上；
（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．
①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；
②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．                                          
                                         图①                                                 图②

答案

解：（1）过点P作PQ⊥AB于点Q，
∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4，
∴AQ=AB=×4=2，
∠APQ=∠APB=×120°=60°，
在Rt△APQ中，sin∠APQ=，
∴AP==sin60°＝4；
（2）过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T，
∴∠OSP=∠OTP=90°，
在四边形OSPT中，
∠SPT=360°﹣∠OSP﹣∠SOT﹣∠OTP
=360°﹣90°﹣60°﹣90°
=120°，
∴∠APB=∠SPT=120°，
∴∠APS=∠BPT，
又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，
∴△APS≌△BPT，
∴PS=PT，
∴点P在∠MON的平分线上；
（3）①8+4；②4+4<t≤8+4．