如图(1),等边△ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE.(1)△DBC和△EAC会全等吗?请说说你的理由;(2)试说明AE∥

如图(1),等边△ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE.(1)△DBC和△EAC会全等吗?请说说你的理由;(2)试说明AE∥

题型:浙江省同步题难度:来源:
如图(1),等边△ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE.
(1)△DBC和△EAC会全等吗?请说说你的理由;
(2)试说明AE∥BC的理由;
(3)如图(2),将(1)动点D运动到边BA的延长线上,所作仍为等边三角形,请问是否仍有AE∥BC?证明你的猜想.
答案
解:(1)△DBC和△EAC会全等
证明:∵∠ACB=60°,∠DCE=60°
∴∠BCD=60°﹣∠ACD,∠ACE=60°﹣∠ACD
∴∠BCD=∠ACE
∵BC=AC,CE=CD
∵△DBC≌△EAC
(2)∵△DBC≌△EAC
∴∠EAC=∠B=60°
又∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE∥BC
(3)结论:AE∥BC
理由:∵△ABC、△EDC为等边三角形
∴BC=AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60°
∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE
在△DBC和△EAC中,BC=AC
∠BCD=∠ACE,CD=CE
∴△DCBC≌△EAC
∴∠EAC=∠B=60°
又∵∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE∥BC.
举一反三
在△AFD和△BEC中,点A、E、F、C在同一直线上,有下面四个论断:
(1)AD=CB;
(2)AE=CF;
(3)∠B=∠D;
(4)AD∥BC.请用其中三个作为条件,余下一个作为结论,编一道数学问题,并写出证明过程
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D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F.
(1)当∠MDN绕点D转动时,求证:DE=DF.
(2)若AB=2,求四边形DECF的面积.
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如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:MB=MD,ME=MF;
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
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如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
求证:BD=2CE.
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在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.
(1)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是(    );此时=(    );
(2)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM?DN时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;
(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=x,则Q=(    )(用x、L表示).
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