如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长。

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答案

解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD，
又∠FAE=∠EDC=90°，EF=EC，
∴Rt△AEF≌Rt△DCE，
AE=CD，
AD=AE+4，
∵矩形ABCD的周长为32cm，
∴2（AE+AE+4）=32，
解得，AE=6（cm）。

举一反三

如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（）。

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如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F。

（1）求证：BF=AD+CF；
（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长。

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如图，点B在∠DAC的平分线AE上，请添加一个适当的条件：（），使△ABD≌△ABC。（只填一个即可）

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做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合。
对于下列结论：①在同一个三角形中，等角对等边；②在同一个三角形中，等边对等角；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合。
由上述操作可得出的是（）（将正确结论的序号都填上）。

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（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°，
求证：BE=CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4，求GH的长。

图1 图2
（3）已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4，直接写出下列两题的答案：
①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长（用n的代数式表示）。

图3 图4

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