已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD。（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=_

题型：模拟题难度：来源：

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD。
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=_______；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4，求BD的长；
（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H，当BD²=4AH²+BC²时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。
图1                           图2                                     图3

答案

解：（1）45；（2）如图2，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，并在AE上取AE=AB，连接BE和CE，
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°，
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
即∠EAC=∠BAD，
∴△EAC≌△BAD，
∴EC=BD，
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°，
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5，
∴BD=5；（3）∠DAC=2∠ABC成立，以下证明：
如图3，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC，
并取BE的中点K，连接AK，
∵AH⊥BC于H，、
∴∠AHC=90°，
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°，
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC²=EB²+BC²=4AH²+BC²，
∵BD²=4AH²+BC²，
∴EC=BD，
∵K为BE的中点，BE=2AH，
∴BK=AH，
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为平行四边形，
又∵∠EBC=90°，
∴四边形AKBH为矩形，
∴∠AKB=90°，
∴AK是BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∵AB=AE，EC=BD，AC=AD，
∴△EAC≌△BAD，
∴∠EAC=∠BAD，
∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD，
即∠EAB=∠DAC，
∵∠EBC=90°，∠ABC为锐角，
∴∠ABC=90°-∠EBA，
∵AB=AE，
∴∠EBA=∠BEA，
∴∠EAB=180°-2∠EBA，
∴∠EAB=2∠ABC，
∴∠DAC=2∠ABC。