菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，求证：AE=AF。

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答案

证明：∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵菱形ABCD，
∴AB=AD，∠B=∠D，
在Rt△EBA和Rt△FDA中，
∴△EBA≌△FDA，
∴AE=AF。

举一反三

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD。
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=_______；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4，求BD的长；
（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H，当BD²=4AH²+BC²时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。

图1 图2 图3

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如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF。
（1）请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线，请证明你的结论；
（2）连接BF、CE，若四边形BFCE是菱形，则△ABC中应添加一个条件是_________。

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如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，求证：D是BC的中点。

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已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，连接AF、EF。

⑴求证：AD=ED；
⑵如果AF//CD，求证：四边形ADEF是菱形。

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CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α。

⑴若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE_____CF； EF_____|BE-AF|（填“>”，“<”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_____，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；
⑵如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）。

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