已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为B、E，且AB=DE，连接AC、DF。求证：∠A=∠D。

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已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为B、E，且AB=DE，连接AC、DF。
求证：∠A=∠D。

答案

证明：∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
即BC=EF，
∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B=∠E=90°，
又AB=DE，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D。

举一反三

如图，已知D是△ABC的边AB上一点，FC∥AB，DF交AC于点E，DE=EF。求证：E是AC的中点。

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在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′（使∠BCE′< 180°），连接AD′、BE′，设直线BE′与AC交于点O。
（1）如图（1），当AC=BC时，AD′：BE′的值为____；
（2）如图（2），当AC=5，BC=4时，求AD′：BE′的值；
（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值。

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如图，已知AB=DC，AC=DB。
求证：∠1=∠2。

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在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M，N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=CD，探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系。

（1）如图（1），当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是____；此时

=____；
（2）如图（2），当点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图（3），当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=____（用x、L表示）。

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请设计一种方案：把正方形ABCD剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，画出必要的示意图（1）使拼成的三角形是等腰三角形；（图（1））
（2）使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形（图（2））。

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