△ABC是等边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA,若0°<∠PBC<180°,且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA。(1)当BP与BA重合
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△ABC是等边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA,若0°<∠PBC<180°,且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA。(1)当BP与BA重合
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△ABC是等边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA,若0°<∠PBC<180°,且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA。
(1)当BP与BA重合时(如图(1)),∠BPD=____;
(2)当BP在∠ABC的内部时(如图(2)),求∠BPD的度数;
(3)当BP在∠ABC的外部时,请你直接写出∠BPD的度数,并画出相应的图形。
答案
解:(1)∠BPD=30°;
(2)如图(1),连接CD
∵点D在∠PBC的平分线上,
∴∠1=∠2
∵△ABC是等边三角形,
∴BA=BC=AC,∠ACB=60°,
∵BP=BA,
∴BP=BC,
∵BD=BD,
∴△PBD≌△CBD,
∴∠BPD=∠3,
∵DB=DA,BC=AC,CD=CD,
∴△BCD≌△ACD,
∴∠3=∠4=
∠ACB=30°,
∴∠BPD=30°;
(3)∠BPD=30°或150°图形见图(2)、图(3)
举一反三
已知:如图,点B、F、C、E在同一直线上,BF=CE,AB⊥BE,DE⊥BE,垂足分别为B、E,且AB=DE,连接AC、DF。
求证:∠A=∠D。
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如图,已知D是△ABC的边AB上一点,FC∥AB,DF交AC于点E,DE=EF。求证:E是AC的中点。
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在△ABC中,点D在AC上,点E在BC上,且DE∥AB,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′(使∠BCE′< 180°),连接AD′、BE′,设直线BE′与AC交于点O。
(1)如图(1),当AC=BC时,AD′:BE′的值为____;
(2)如图(2),当AC=5,BC=4时,求AD′:BE′的值;
(3)在(2)的条件下,若∠ACB=60°,且E为BC的中点,求△OAB面积的最小值。
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如图,已知AB=DC,AC=DB。
求证:∠1=∠2。
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在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M,N,D为△ABC外一 点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=CD,探究:当点M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系。
(1)如图(1),当点M、N在边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是____;此时
=____;
(2)如图(2),当点M、N在边AB、AC上,且当DM≠DN时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;
(3)如图(3),当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=x,则Q=____(用x、L表示)。
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