已知点D与点A(8,0),B(0,6),C(a,-a)是一平行四边形的四个顶点,则CD长的最小值为______.
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已知点D与点A(8,0),B(0,6),C(a,-a)是一平行四边形的四个顶点,则CD长的最小值为______. |
答案
有两种情况: ①CD是平行四边形的一条边,那么有AB=CD==10
②CD是平行四边形的一条对角线, 过C作CM⊥AO于M,过D作DF⊥AO于F,交AC于Q,过B作BN⊥DF于N, 则∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°, ∠CAM+∠FQA=90°,∠BDN+∠DBN=90°, ∵四边形ACBD是平行四边形, ∴BD=AC,∠C=∠D,BD∥AC, ∴∠BDF=∠FQA, ∴∠DBN=∠CAM, ∵在△DBN和△CAM中
∴△DBN≌△CAM(AAS), ∴DN=CM=a,BN=AM=8-a, D((8-a,6+a), 由勾股定理得:CD2=(8-a-a)2+(6+a+a)2=8a2-8a+100=8(a-)2+98, 当a=时,CD有最小值,是 ∵<10, ∴CD的最小值是=7.
解法二: CD是平行四边形的一条对角线 设CD、AB交于点E, ∵点E为AB的中点, ∴E(,),即E(4,3) ∵CE=DE, ∴当DE取得最小值时,CE自然为最小, ∵C(a,-a), ∴C点可以看成在直线y=-x上的一点, ∴CE最小值为点E到直线的距离,即CE⊥直线y=-x, 根据两直线垂直,斜率乘积为-1, ∴CE所在直线为y=x+b,代入E(4,3),可得y=x-1, ∴C点坐标为两直线交点:,即:(,-) ∴CE为:= ∴CD=7. 故答案为:7.
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举一反三
O为平行四边形ABCD的对角线AC中点,过O作一直线交AB,CD于M、N,E、F在MN上,OE=OF (1)写出图中全等三角形; (2)证明:∠EAM=∠NCF.
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如图,ABCD是平行四边形,∠B=60°,E、F分别是AD、BC边上的中点,且DE=DC.试以图中标有字母的点为端点,连接两条线段(不同于图形中已有的线段),如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种,那么请你说明理由.
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在▱ABCD中,已知∠A-∠B=30°,则∠C等于( ) |
如图,在平行四边形ABCD中,∠A=130°,在AD上取DE=DC,则∠ECB的度数是______度.
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如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°≤α<90°). (1)当α=60°时,求CE的长; (2)当60°<α<90°时, ①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. ②连接CF,当CE2-CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.
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